數(shù)獨清EH的數(shù)獨雜談#9-1 SDC初步

發(fā)布時間：2025-05-30 20:23:53 來源：互聯(lián)網(wǎng) 作者：Anthony-XYZ

數(shù)獨清EH的數(shù)獨雜談#9-1 SDC初步如下：

--------目錄--------

一、SDC的基本形式

二、SDC的拓展形式

1. 外部擴展的SDC

2. 內(nèi)部區(qū)塊的SDC

3. 自噬SDC

三、SDC的觀察

四、欠一數(shù)組——SDC的另一種視角

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大家好！第9單元將會介紹另外一種用途還算廣泛，功能極其強大的結(jié)構(gòu)——SDC（Sue de Coq，融合待定數(shù)組）。SDC與我們學過的數(shù)組有類似之處，但它在形式上通常分布在多個區(qū)域（行/列/宮）內(nèi)，觀察起來有一定難度。

讓我們先從一個最簡單的SDC實例講起。

一、SDC的基本形式

SDC的基本形式見圖9-1.1。

讓我們把目光放在紅框框起來的兩格，里面包含1259四種候選數(shù)；在與這兩格同宮的格子r1c8內(nèi)含有候選數(shù)19，在與這兩格同列的格子r6c7內(nèi)含有候選數(shù)25。現(xiàn)在把這四格內(nèi)的19涂成橙色，25涂成紫色。

現(xiàn)在想一想：紅框里的填數(shù)形式會是怎樣的呢？

紅框有兩格，顯然這兩格要么都填橙色，要么都填紫色，要么一個橙色一個紫色。但在本例中：

（1）如果都填橙色（即都是19），則3宮內(nèi)19兩個數(shù)字占了3個單元格，違背數(shù)獨規(guī)則。（2）如果都填紫色（即都是25），則7列內(nèi)25兩個數(shù)字占了3個單元格，同樣違背數(shù)獨規(guī)則。

所以只剩最后一種情況，即一格填橙色（1/9），另一格填紫色（2/5）。

接下來想想這種情況意味著什么：3宮現(xiàn)在有兩格橙色（r1c8+紅框內(nèi)1格），即3宮內(nèi)形成19數(shù)組，那么3宮內(nèi)未被涂色的單元格r123c9都不能是1和9。同理，7列也有兩格紫色，即形成25數(shù)組，那么7列內(nèi)未被涂色的單元格r49c7都不能是2和5。從而產(chǎn)生圖中涂紅色部分的刪數(shù)。

在閱讀后面的內(nèi)容前，請確保你已經(jīng)理解了上例的分析。我們注意到，這個例子的紅框部分雖然是4種候選數(shù)的融合，但配合其他區(qū)域的單元格，可以把它拆解為兩個不同區(qū)域的數(shù)組，當做數(shù)組去使用。這種形式上融合，但在邏輯上可以分離為多個數(shù)組并且分開使用的候選數(shù)結(jié)構(gòu)，被稱為Sue de Coq。這個技巧是以發(fā)現(xiàn)者Sue de Coq的名字命名的。

或許有讀者已經(jīng)在思考這種技巧如何去觀察了。但是不急，我們先了解一下它的拓展形式，然后再進行總結(jié)。

二、SDC的拓展形式

1. 外部擴展的SDC

在上一個例子中，我們找到了一個紅框區(qū)域（占2格），里面包含四種候選數(shù)abcd。然后，我們在紅框的所在宮和列內(nèi)，又各找了一個只包含ab和只包含cd的單元格。這樣，結(jié)構(gòu)所占的單元格數(shù)和涉及的候選數(shù)區(qū)域總數(shù)相等，都為4。（這句話沒理解也沒關(guān)系，之后還會進一步解釋。）

但有時情況并不完美，比如下面的圖9-1.2。

我們依然關(guān)注紅框，內(nèi)部包含了1289四種候選數(shù)。在紅框所在列，我們找到了只含19的單元格r9c5；在紅框所在宮，我們并沒有直接找到包含28的單元格。相反，我們卻找到了兩格r12c4，它們不僅包含28，還恰好多出一種數(shù)字7。

現(xiàn)在把19涂成橙色，28涂成紫色；這兩個“多出來”的7涂成綠色。我們再次對紅框內(nèi)的填數(shù)情況進行討論：

（1）如果紅框內(nèi)兩格都是橙色（19），則5列內(nèi)19兩種候選數(shù)占據(jù)3個單元格，違背了數(shù)獨規(guī)則。

（2）如果紅框內(nèi)兩格都是紫色（28），那么紅框和剛才找到的r12c4兩格，這四格內(nèi)只有278三種候選數(shù)了，還是違背數(shù)獨規(guī)則。

所以，5列內(nèi)r129c5中存在19數(shù)對，2宮內(nèi)r12c45中存在278數(shù)組。從而產(chǎn)生涂紅色部分的刪數(shù)。

看到了嗎？雖然多出一個7，但是分析的思路是完全一樣的！

我們再回看這個例子，它一共涉及5個單元格，而候選數(shù)區(qū)域也包含5種：19，28，7。它仍然是個合格的SDC。如果我們草率地把紅框定義為SDC的“內(nèi)部”，而宮內(nèi)和行/列內(nèi)另找的單元格（在本例中是r12c4和r9c5）是SDC的“外部”，則這一例的7就可以算作“外部”拓展出的候選數(shù)，但這些7仍然是SDC整個結(jié)構(gòu)不可或缺的一部分。

2. 內(nèi)部區(qū)塊的SDC

剛才例子里“似乎多出來”的那個候選數(shù)7，出現(xiàn)在SDC的“外部”。現(xiàn)在我們來看多出的候選數(shù)出現(xiàn)在SDC“內(nèi)部”的情況，如圖9-1.3。

我們?nèi)匀魂P(guān)注紅框，里面包含了5種候選數(shù)：24569（內(nèi)部）。在其列上找到一個只包含56的格子r7c9，在其宮內(nèi)找到一個只包含49的格子r2c8（外部）。

前兩個例子中，我們從“外部”找到的格子，其包含的候選數(shù)完全覆蓋了“內(nèi)部”的候選數(shù)類型（不信就回去看看是不是這樣），但這次我們只找到了56和49，而“內(nèi)部”多出了一種候選數(shù)2。

現(xiàn)在，把56涂成紫色，49涂成橙色，“多出來”的2涂成綠色。因為有三種顏色，想要探討紅框內(nèi)的填數(shù)情況會更復(fù)雜一點。但我們肯定知道：

（1）綠色（2）最多只能填入1個，這是很明顯的。

（2）紫色（56）最多只能填入1個，否則9列上56兩種候選數(shù)將占據(jù)3格，違背數(shù)獨規(guī)則。

（3）橙色（49）最多只能填入1個，否則3宮內(nèi)49兩種候選數(shù)將占據(jù)3格，違背數(shù)獨規(guī)則。

（4）綠色、紫色、橙色一共要有3個，因為這三格里所有的數(shù)字都被涂色了。

這相當于解不等式組x≤1，y≤1，z≤1，且x+y+z=3。很顯然，x=y=z=1，也就是紅框里必須恰好有一格紫色，一格橙色和一格綠色，也就意味著：

（1）恰有一格紫色——r1237c9在9列上構(gòu)成56數(shù)對。

（2）恰有一格橙色——r123c9和r2c8在3宮內(nèi)構(gòu)成49數(shù)對。

（3）恰有一格綠色——r12c9內(nèi)一定有一個數(shù)字2，即數(shù)字2在紅框內(nèi)事實上形成了區(qū)塊。

現(xiàn)在回來看圖中涂成紅色的刪數(shù)，你是否已經(jīng)明白了它的原理呢？

這個例子也涉及5個單元格，同樣包含著5種候選數(shù)：56，49，2。這個“似乎多出來”的2出現(xiàn)在SDC的“內(nèi)部”，是SDC不可或缺的一部分。

3. 自噬SDC

-注：秩理論不是這一部分的前置知識點，但學習秩理論將有助于從另一個角度理解這一部分的內(nèi)容。-

“自噬”是一個常見而又有點神秘色彩的概念，這是本雜談系列第一次提到它?；\統(tǒng)地講，結(jié)構(gòu)刪數(shù)反過來刪去了結(jié)構(gòu)某些組分甚至結(jié)構(gòu)本身的現(xiàn)象，就稱作自噬。

SDC就是存在自噬現(xiàn)象的結(jié)構(gòu)之一。讓我們來看圖9-1.4。

讀者可以先將這張圖里r9c5的4（就是我劃叉那個）先涂掉，看看能不能理解涂紅色部分的刪數(shù)。

在此基礎(chǔ)上，我們來探索一下，r9c5多了一個4之后，會不會影響這些刪數(shù)。

我們注意到，雖然多了這個4，但分析紅框的填數(shù)方式時結(jié)論是不變的，即一定恰有一格橙色和一格紫色，在5列和8宮內(nèi)構(gòu)成數(shù)組。

本例最大的特點在于，5列和8宮內(nèi)的數(shù)組同時涉及了候選數(shù)4。因此，雖然形式上它是6格而只涉及5種候選數(shù)（12，479）的結(jié)構(gòu)，但候選數(shù)4跨了兩個區(qū)域（5列和8宮），所以候選數(shù)區(qū)域還是6個，等于結(jié)構(gòu)所占格數(shù)。

到現(xiàn)在為止，我們終于把候選數(shù)種類和候選數(shù)區(qū)域的區(qū)別講出來了。通過觀察發(fā)現(xiàn)，這兩個4的區(qū)域相交于紅框內(nèi)（本例中是r9c5的4）。這是自噬產(chǎn)生的基礎(chǔ)。

剛才那段講的有些云里霧里。我們現(xiàn)在來具體看看r9c5填4會發(fā)生什么：

（1）如果這個4當成紫色來對待，那么r8c5就是橙色（12）；由于現(xiàn)在填入了這個4，r7c46也只包含12兩種候選數(shù)了，從而候選數(shù)12在8宮內(nèi)占3格，違背數(shù)獨規(guī)則。

（2）如果這個4當成橙色來對待，那么r8c5就是紫色（479），等于說479三種候選數(shù)在5列內(nèi)占了4格，同樣違背數(shù)獨規(guī)則。

無論從這兩個角度的哪一種來考慮，這個4都不該存在。所以r9c5≠4。

看到了嗎？這個4本來是SDC結(jié)構(gòu)內(nèi)的數(shù)字，但通過結(jié)構(gòu)的推理卻把它刪掉了。這就是“自噬”。既然這個4不存在了，那么涂紅色的刪數(shù)也都可以刪掉了。

-注：從秩理論的角度講，SDC是一個零秩結(jié)構(gòu)，因此所有弱區(qū)域都是可以產(chǎn)生刪數(shù)的。而兩個弱區(qū)域在結(jié)構(gòu)內(nèi)部的重疊部分（也是結(jié)構(gòu)內(nèi)的候選數(shù)）一旦為真，就會將結(jié)構(gòu)降為負秩，而負秩結(jié)構(gòu)是不可能存在的。-

三、SDC的觀察

注：這一部分內(nèi)容全程重點且高能，必須結(jié)合大量練習實例來理解！

我們剛才討論了4個實例，分別是基本的SDC，外部擴展的SDC，內(nèi)部區(qū)塊的SDC，自噬的SDC。這四種實際上都是同一種。在以下方面，合格的SDC結(jié)構(gòu)存在共性，請讀者結(jié)合以上實例進行驗證：

（1）結(jié)構(gòu)涉及的單元格數(shù)=候選數(shù)區(qū)域個數(shù)，這也是SDC觀察的一個基本點。請注意在自噬SDC中，同一種候選數(shù)可能占據(jù)多個區(qū)域。

（2）SDC“內(nèi)部”通常是一宮內(nèi)的某個行/列，不包含已經(jīng)填入的確定數(shù)。在現(xiàn)階段，SDC通常都會橫跨一個宮和一個行/列。

（3）不涉及自噬的候選數(shù)不會跨區(qū)域存在。

（4）結(jié)構(gòu)涉及的候選數(shù)種類數(shù)通?！?。

基于以上特點，我們觀察圖9-1.5.1的實例，總結(jié)一種從內(nèi)到外觀察SDC的角度，當然這通常需要具體問題具體分析：

（1）找到一宮內(nèi)的一個行/列（n格，n通常是2或3），里面需要有k種候選數(shù)，且k至少為4。例如圖9-1.5.1，我們找到一個3格5種候選數(shù)的區(qū)域，此處n=3，k=5。

（2）在SDC“內(nèi)部”同一行列/宮內(nèi)找到n1格（n1+n＜k），包含這k種候選數(shù)的k1個（k1≥2）。如果不得不再引入Δ1種候選數(shù)，那就再找Δ1個格子，把這（k1+Δ1）種候選數(shù)包含其中。此步驟后，還剩下（k-n-n1）格，以及（k-k1）種候選數(shù)。如圖9-1.5.2，因為有5種候選數(shù)（12679，k=5），我們只找到3格。恰好1行里有一個包含27的格子，所以把它也劃入結(jié)構(gòu)?，F(xiàn)在還有5-3-1=1格需要找，而還剩下的候選數(shù)種類是169，共5-2=3種。

（3）在SDC“內(nèi)部”同一宮/行列內(nèi)找（n-n1）格，它必須恰好包含剩余（k-k1）種候選數(shù)或者其中的一部分（設(shè)為k2種，k2≥2）。如果不得不再引入Δ2種候選數(shù)，那就再找Δ2個格子，把這（k2+Δ2）種候選數(shù)包含其中。如圖9-1.5.3，還有1個格子和3種候選數(shù)（169）沒找到，但1宮內(nèi)剩下3格都沒有9了，因此退而求其次找一格只包含候選數(shù)16的單元格。我們發(fā)現(xiàn)，沒有直接的16單元格，因此引入一種候選數(shù)4，從而需要找兩格包含146的格子?，F(xiàn)在我們已經(jīng)找到了完整的結(jié)構(gòu)。經(jīng)證明，結(jié)構(gòu)涉及格數(shù)和候選數(shù)區(qū)域數(shù)都是6，滿足SDC的條件，可以產(chǎn)生如下的刪數(shù)。